CĂĄlculo
Rama de las matemĂĄticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores mĂĄximo y mĂnimo de funciones y de la determinaciĂłn de longitudes, ĂĄreas y volĂșmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingenierĂa, siempre que haya cantidades que varĂen de forma continua.
CĂĄlculo como razonamiento y cĂĄlculo lĂłgico-matemĂĄtico
Las dos acepciones del cĂĄlculo (la general y la restringida) arriba definidas estĂĄn Ăntimamente ligadas. El cĂĄlculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cĂĄlculo lĂłgico natural como razonamiento es el primer cĂĄlculo elemental del ser humano. El cĂĄlculo en sentido lĂłgico-matemĂĄtico aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.
Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:
Operaciones orientadas hacia la consecuciĂłn de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad prĂĄctica o cognoscitiva.
Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbĂłlicos de la interpretaciĂłn lĂłgico-matemĂĄtica de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicaciĂłn de reglas estrictamente establecidas de antemano.
Resultado que es:
ConclusiĂłn de un proceso de razonamiento.
Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resoluciĂłn de problemas).
Modelo de relaciones previamente establecido como teorĂa cientĂfica y significativo respecto a determinadas realidades (CreaciĂłn de modelos cientĂficos).
Mero juego formal simbĂłlico de fundamentaciĂłn, creaciĂłn y aplicaciĂłn de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (CĂĄlculo lĂłgico-matemĂĄtico, propiamente dicho).
Dada la importancia que histĂłricamente ha adquirido la actividad lĂłgico-matemĂĄtica en la cultura humana el presente artĂculo se refiere a este Ășltimo sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ĂĄmbito de aplicaciĂłn; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cĂĄlculo matemĂĄtico, pues en algunas universidades se llamaba "CĂĄlculo" a una asignatura especĂfica de cĂĄlculo matemĂĄtico.
En un artĂculo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cĂĄlculo lĂłgico-matemĂĄtico en la actualidad. AquĂ se expone solamente el fundamento de sus elementos mĂĄs simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los cĂĄlculos mĂĄs complejos tanto en el aspecto lĂłgico como en el matemĂĄtico.
Historia del cĂĄlculo
De la Grecia ClĂĄsica a la Edad Media
El tĂ©rmino "cĂĄlculo" procede del latĂn calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituĂan el ĂĄbaco romano que, junto con el suwanpan chino, constituyen las primeras mĂĄquinas de calcular en el sentido de contar.
Los antecedentes de procedimiento de cålculo se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez mås pequeños, a una medida de figuras curvas; asà como Diofanto precursor del ålgebra.
La consideraciĂłn del cĂĄlculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ĂĄmbitos del conocimiento se debe a AristĂłteles, quien en su LĂłgica fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categĂłricos (silogismos). Este trabajo serĂa completado mĂĄs tarde por los estoicos, los megĂĄricos, la EscolĂĄstica.
El algoritmo actual de cålculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de al-Juwarizmi en el siglo IX.
Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los ĂĄrabes. La escritura antigua de nĂșmeros en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacĂa muy difĂcil un procedimiento mecĂĄnico de cĂĄlculo.
El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.
El concepto de funciĂłn por tablas ya era practicado de antiguo pero adquiriĂł especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
A fin de lograr una operatividad mecĂĄnica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podĂa generar un algoritmo prĂĄcticamente mecĂĄnico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonomĂ©tricas; las tablas venĂan a ser como la calculadora de hoy dĂa; un instrumento imprescindible de cĂĄlculo. Las amortizaciones de los crĂ©ditos, por ejemplo,se calculaban hasta hace poco a partir de tablas elementales.
A finales de la Edad Media la discusiĂłn entre los partidarios del ĂĄbaco y los partidarios del algoritmo se decantĂł claramente por estos Ășltimos.De especial importancia es la creaciĂłn del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.
Renacimiento
El desarrollo del ĂĄlgebra (con la introducciĂłn de un sistema de sĂmbolos por un lado, y la resoluciĂłn de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemĂĄticos renacentistas como Tartaglia, StĂ©vin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y soluciĂłn de los mĂĄs diversos problemas que surgieron en la Ă©poca como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso cientĂfico que surgirĂĄ en el siglo XVII.
Ejemplo de aplicaciĂłn de un cĂĄlculo algebraico a la resoluciĂłn de un problema segĂșn la interpretaciĂłn de una teorĂa fĂsica
La expresiĂłn del cĂĄlculo algebraico y = xt, indica las relaciones sintĂĄcticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno.
Pero si interpretamos y como espacio, x como velocidad y t como tiempo, tal ecuaciĂłn modeliza una teorĂa fĂsica que establece que el espacio recorrido por un mĂłvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.
Al mismo tiempo, segĂșn dicha teorĂa, sirve para resolver el problema de calcular cuĂĄntos kilĂłmetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido.
· 240 kilĂłmetros recorridos = 60 km x 4 h
El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesĂa renacentista.
Siglos XVII y XVIII
PĂĄgina del artĂculo de Leibniz "Explication de l'ArithmĂ©tique Binaire", 1703/1705
En el siglo XVII el cĂĄlculo conociĂł un enorme desarrollo siendo los autores mĂĄs destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cĂĄlculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorciĂłn, el nombre de cĂĄlculo.
El concepto de cĂĄlculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicaciĂłn al mundo de lo real adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemĂĄticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia fĂsica que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulaciĂłn tradicional filosĂłfica, por el rigor y seguridad que ofrece el cĂĄlculo matemĂĄtico. Cambia asĂ el sentido tradicional de la FĂsica como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.
A partir de entonces el propio sistema de cĂĄlculo permite establecer modelos sobre la realidad fĂsica, cuya comprobaciĂłn experimental supone la confirmaciĂłn de la teorĂa como sistema. Es el momento de la consolidaciĂłn del llamado mĂ©todo cientĂfico cuyo mejor exponente es en aquel momento la TeorĂa de la GravitaciĂłn Universal y las leyes de la MecĂĄnica de Newton.
Siglos XIX y XX
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George Boole |
La LĂłgica de Aristoteles fue desarrollada y se mantuvo prĂĄcticamente como tal a lo largo de los siglos. Kant, a finales del siglo XVIII, opinaba que la LĂłgica aristotĂ©lica no habĂa sufrido modificaciones sustanciales por tratarse de una ciencia formal, a priori y analĂtica.
Durante el siglo XIX y XX el desarrollo cientĂfico y la creaciĂłn de modelos teĂłricos fundados en sistemas de cĂĄlculo aplicables tanto en mecĂĄnica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. asĂ como en astronomĂa fue impresionante. Los sistemas de cĂĄlculo matemĂĄtico amplĂan horizontes nuevos geometrĂas no euclidianas que encuentran aplicaciĂłn en modelos teĂłricos de astronomĂa y fĂsica. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partĂculas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuraciĂłn o espacio de fases de n dimensiones que fĂsicamente se hacen consistentes en la teorĂa de la relatividad, la mecĂĄnica cuĂĄntica, la teorĂa de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo fĂsico.
La lĂłgica asimismo sufriĂł una transformaciĂłn radical. La formalizaciĂłn simbĂłlica fue capaz de integrar las leyes lĂłgicas en un cĂĄlculo matemĂĄtico, hasta el punto que la distinciĂłn entre razonamiento lĂłgico-formal y cĂĄlculo suele considerarse como meramente utilitaria.
En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalizaciĂłn de todo el sistema matemĂĄtico, Frege, y de matematizaciĂłn de la lĂłgica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalizaciĂłn del concepto como cĂĄlculo lĂłgico. Se lograron mĂ©todos muy potentes de cĂĄlculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los nĂșmeros transfinitos de Cantor.
Mediante el cĂĄlculo la lĂłgica encuentra nuevos desarrollos como lĂłgicas modales y lĂłgicas polivalentes.
Los intentos de axiomatizar el cĂĄlculo como cĂĄlculo perfecto por parte de Hilbert y PoincarĂ©, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatizaciĂłn, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostraciĂłn de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cĂĄlculo perfecto: consistente, decidible y completo Teorema de Gödel en 1931, de grandes implicaciones lĂłgicas, matemĂĄticas y cientĂficas.
Actualidad
En la actualidad, el cĂĄlculo en su sentido mĂĄs general, en tanto que cĂĄlculo lĂłgico interpretado matemĂĄticamente como sistema binario, y fĂsicamente hecho material mediante la lĂłgica de circuitos elĂ©ctrĂłnicos, ha adquirido una dimensiĂłn y desarrollo impresionante por la potencia de cĂĄlculo conseguida por los ordenadores, propiamente mĂĄquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cĂĄlculo de estas mĂĄquinas hace lo que humanamente serĂa imposible: millones de operaciones.
El cĂĄlculo asĂ utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigaciĂłn cientĂfica por las posibilidades que ofrece para la modelizaciĂłn de las teorĂas cientĂficas, adquiriendo especial relevancia en ello el cĂĄlculo numĂ©rico.
Concepto general de cĂĄlculo
El cĂĄlculo es un sistema de sĂmbolos no interpretados, es decir, sin significaciĂłn alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintĂĄcticas entre los sĂmbolos para la construcciĂłn de expresiones bien formadas (EBF), asĂ como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologĂas.
Un cĂĄlculo consiste en:
- Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeraciĂłn, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuĂĄndo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
- Un conjunto de reglas de formaciĂłn de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuĂĄndo una expresiĂłn pertenece al sistema y cuĂĄndo no.
- Un conjunto de reglas de transformaciĂłn de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresiĂłn bien formada del cĂĄlculo podremos obtener una nueva expresiĂłn equivalente y bien formada que pertenece al cĂĄlculo.
Cuando en un cĂĄlculo asĂ definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomĂĄtico.
Un cĂĄlculo asĂ definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un CĂĄlculo Perfecto:
- Es consistente: No es posible que dada una expresiĂłn bien formada del sistema, f, y su negaciĂłn, no − f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicciĂłn entre las expresiones del sistema.
- Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
- Completo: Cuando dada cualquier expresiĂłn bien formada del sistema, podemos establecer la demostraciĂłn o prueba de que es un teorema del sistema.
La misma lĂłgica-matemĂĄtica ha demostrado que tal sistema de cĂĄlculo perfecto "no es posible"
El cĂĄlculo lĂłgico
Entendemos aquĂ por cĂĄlculo lĂłgico, un algoritmo que permite cĂłmoda y fĂĄcilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como vĂĄlidamente verdaderos.
La inferencia o deducciĂłn es una operaciĂłn lĂłgica que consiste en obtener un enunciado como conclusiĂłn a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicaciĂłn de reglas de inferencia.
Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.
Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empĂricos -supuestamente verdaderos y vĂĄlidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, segĂșn las leyes de la lĂłgica natural.
La lĂłgica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformaciĂłn de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusiĂłn es necesariamente verdadera.
Al aplicar las reglas de este cĂĄlculo lĂłgico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolizaciĂłn adecuada de fĂłrmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo.
SistematizaciĂłn de un cĂĄlculo de deducciĂłn natural
Reglas de transformaciĂłn de fĂłrmulas
1) Regla de sustituciĂłn (R.T.1):
Dada una tesis EBF del cĂĄlculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cĂĄlculo, serĂĄ tambiĂ©n una tesis EBF del cĂĄlculo. Y ello con una Ășnica restricciĂłn, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.
Veamos el ejemplo:
1
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2
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B
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y
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3
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C
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B
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donde C =
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2) Regla de separaciĂłn (R.T.2:
Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X -> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.
Esquemas de inferencia
Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:
[A \land B \land C....\land N]\rightarrow Y
lo que constituye un esquema de inferencia en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas A, B,...N y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusiĂłn Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lĂłgica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautologĂa.
Por la regla de separaciĂłn podremos concluir Y, de forma independiente como verdad.
Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el cĂĄlculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes lĂłgicas utilizadas como reglas de transformaciĂłn, como se expone en cĂĄlculo lĂłgico.
Concepto de modelo
Cuando en un CĂĄlculo C, se establece una "correspondencia" de cada sĂmbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sĂ, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacĂo, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.
El lenguaje natural como modelo de un cĂĄlculo lĂłgico
Naturalmente el cĂĄlculo lĂłgico es Ăștil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en quĂ© consisten o cĂłmo se hacen tales aplicaciones?
Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.
Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalizaciĂłn de tal forma que podamos reducir las expresiones lingĂŒĂsticas del lenguaje natural a EBFs de un cĂĄlculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lĂłgica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en cĂĄlculo lĂłgico.
Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingĂŒĂsticas dan lugar a sistemas diversos de formalizaciĂłn y cĂĄlculo:
CĂĄlculo preposicional o cĂĄlculo de enunciados
Cuando se toma la oraciĂłn simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposiciĂłn atĂłmica, como un todo sin analizar.
La oraciĂłn simple: "Llueve", es tomada como posible valor de verdad o falsedad como una variable "p".
CĂĄlculo como lĂłgica de clases
Cuando se toma la oraciĂłn simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del anĂĄlisis de la oraciĂłn como una relaciĂłn de individuos o posibles individuos que pertenecen o no pertenecen a una clase.
Siendo una clase el conjunto de posibles individuos en los que se incluye el Sujeto y la otra el conjunto de posibles individuos que se incluyen en el predicado de la oraciĂłn.
Esta es la forma en la que en la actualidad se interpreta la lĂłgica silogĂstica de AristĂłteles, que queda asĂ se reducida a un cĂĄlculo segĂșn la teorĂa de conjuntos
La oraciĂłn simple "Todos los caballos corren por el campo" estĂĄ analizada como: La clase de todos los posibles seres que corren por el campo (B) incluye a la clase formada por todos los posibles seres que sean caballos (A).
CĂĄlculo de predicados o cuantificacional
Cuando se toma la oraciĂłn simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del anĂĄlisis de la misma de forma que una posible funciĂłn predicativa (P), se predica de una posible sujeto variable (x) o de una constante individual existente (a).
La oraciĂłn simple "los perros muerden" se interpreta de la siguiente forma
\land x=Todos los posibles perros;
P = todas las posibles acciones de morder.
\land xP(x)= Para todo x (siendo x un perro) x muerde = Todos los perros muerden.
En el caso de Desko que es mi perro al que simbolizo como una constante a:
P(a) = Mi perro Desko muerde.
CĂĄlculo como lĂłgica de relaciones
Cuando se toma la oraciĂłn simple significativa con posible valor de verdad propio, verdado o falso, como resultado del anĂĄlisis de la oraciĂłn como una relaciĂłn "R" que se establece entre un sujeto y un predicado.
AsĂ la oraciĂłn simple "Antonio es mayor que Pedro", se considera y simboliza bajo la relaciĂłn "ser mayor que" (R) que se da entre Antonio (a) y Pedro (p) y se simboliza como aRp.
La simbolizaciĂłn y formaciĂłn de EBFs en cada uno de esos cĂĄlculos, asĂ como las reglas de cĂĄlculo se trata en cĂĄlculo lĂłgico.
Cålculo aritmético
AritmĂ©tica es la rama de las matemĂĄticas que estudia ciertas operaciones de los nĂșmeros y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente nĂșmeros y habilidad.
El nĂșmero en aritmĂ©tica elemental tiene la consideraciĂłn de nĂșmero natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.
De hecho el cĂĄlculo mĂĄs natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.Pero las formas y modos para realizar el cĂĄlculo han surgido segĂșn las diversas formas de sistemas de numeraciĂłn, asĂ como su transcripciĂłn grĂĄfica.
Algoritmos
En el sistema numĂ©rico decimal, base 10, consta de 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), que adquieren un valor posicional a la hora de determinar el nĂșmero.
Las posiciones se inician por la derecha: La primera indica las unidades; la segunda las decenas; la tercera las centenas; la cuarta el millar; siendo cada cifra a la izquiera tantas unidades de la potencia de 10 que corresponda al nĂșmero de la posiciĂłn.
El nĂșmero 7452: Se lee: Siete mil cuatrocientos cincuenta y dos. Y consta de 7 unidades de mil (millares), 4 de cien (centenas), 5 de 10 (decenas) y 2 unidades.
Operaciones bĂĄsicas del cĂĄlculo: suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn
Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn son las operaciones bĂĄsicas del cĂĄlculo, sobre las cuales se construyen todas las demĂĄs. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mĂnima expresiĂłn de un conocimiento bĂĄsico.
1. Algoritmo de la Suma
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operaciĂłn de suma consiste en la uniĂłn de las unidades contenidas en dos nĂșmeros, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".
2. Algoritmo de la resta
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operaciĂłn de resta se considera como la diferencia entre dos nĂșmeros, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".
3. Algoritmo de la multiplicaciĂłn
Una multiplicaciĂłn de ejemplo
La multiplicaciĂłn es una suma reiterativa de un mismo nĂșmero, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro nĂșmero, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.(vĂ©ase el artĂculo Tabla de multiplicar)
4. Algoritmo de la divisiĂłn
La operaciĂłn se realiza entre dos nĂșmeros, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuĂĄntas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".
Algoritmo de potencias y raĂcesAlgoritmo de la raĂz cuadrada
Potencias
Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo nĂșmero, llamado "base", tantas veces como indica un Ăndice o "exponente".
Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente.
AsĂ: 5^3 = 5 \times 5 \times 5= 125
El algoritmo de cĂĄlculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.
RaĂces
Mayor dificultad ofrece el cĂĄlculo de raĂces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raĂz cuadrada.
La raĂz es la operaciĂłn inversa de la potencia. Se expresa \sqrt[n]{x}donde x se llama "radicando" y n "raiz", y se trata de calcular un nĂșmero y tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raĂz exacta.
Este algoritmo de cålculo aritmético estå completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electrónicas resuelven dicho cålculo con absoluta sencillez.
En la Escuela se aprendĂa el de la raĂz cuadrada, olvidado por muchos, como tantos otros, por lo que encontramos interesante su descripciĂłn, a modo de curiosidad y recordatorio:
Situamos como indica la figura el nĂșmero, “radicando”, del que queremos extraer la raĂz, en unas lĂneas como indica la misma figura.
Sea el nĂșmero 9874285. Se descompone en grupos de dos cifras empezando por la cifra de unidades. Se toma el primer grupo de la izquierda, de una o dos cifras, segĂșn el nĂșmero tenga un nĂșmero de cifras par o impar, y conforme a las tablas de multiplicar se toma el nĂșmero que multiplicado por sĂ mismo, del 1 al 9, mĂĄs se acerque a la cifra o cifras primeras.
En el caso que nos ocupa al ser impar, la cifra a considerar es el 9 y el nĂșmero que nos indica la tabla de multiplicar el 3, que colocamos como indica la figura como primera cifra de la raĂz que pretendemos calcular.
Se calcula la diferencia entre las cifras o cifra del nĂșmero con la aproximaciĂłn considerada anteriormente. En el caso que estamos considerando 9 – 9 = 0, y a esta diferencia se le añaden como si fuera un nuevo nĂșmero las dos cifras siguientes del radicando. En nuestro caso 87.
Este nĂșmero lo dividimos por el doble de la cifra que ya hemos considerado de la raĂz. En este caso el 6, al que añadimos la cifra que consideremos como cociente, bajo la condiciĂłn de que multiplicado el nĂșmero que resulta de unir el doble de la cifra raĂz con dicho cociente por el propio cociente, mĂĄs se aproxime al nĂșmero diferencia de la operaciĂłn anterior por defecto. En el caso que nos ocupa 87 : 61 = 1; de lo que resulta 61 x 1 = 61, calculando la diferencia con el 87 anterior, y añadiendo la cifra 1 a la raĂz.
Repetimos la misma operaciĂłn añadiendo las cifras siguientes del radicando, 42 que dividimos por el doble de 31; 31 x 2 = 62: dividiendo 2642 : 62 = 4; de donde 624 x 4 = 2496, incorporando el 4 a la raĂz y procediendo de igual forma con todas las cifras del radicando.
El resultado final debe corresponder a la operaciĂłn de cĂĄlculo siguiente: 3142 x 3142 + 2121 = 9874285
Cålculo infinitesimal o cålculo diferencial e integral: breve reseña
El cĂĄlculo infinitesimal, llamado por brevedad "cĂĄlculo", tiene su origen en la antigua geometrĂa griega. DemĂłcrito calculĂł el volumen de pirĂĄmides y conos considerĂĄndolos formados por un nĂșmero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y ArquĂmedes utilizaron el "mĂ©todo de agotamiento" o exhauciĂłn para encontrar el ĂĄrea de un cĂrculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polĂgonos regulares inscritos de cada vez mayor nĂșmero de lados. En el periodo tardĂo de Grecia, el neoplatĂłnico Pappus de AlejandrĂa hizo contribuciones sobresalientes en este ĂĄmbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con nĂșmeros irracionales y las paradojas de ZenĂłn de Elea impidieron formular una teorĂa sistemĂĄtica del cĂĄlculo en el periodo antiguo.
En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el ĂĄlgebra para encontrar el ĂĄrea y las tangentes (integraciĂłn y DerivaciĂłn en tĂ©rminos modernos). Fermat y Barrow tenĂan la certeza de que ambos cĂĄlculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del ĂĄrea y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cĂĄlculo.
El descubrimiento de Newton, a partir de su teorĂa de la gravitaciĂłn universal, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicaciĂłn aĂșn provoca controversias sobre quiĂ©n de los dos fue el primero. Newton utilizĂł el cĂĄlculo en mecĂĄnica en el marco de su tratado "Principios matemĂĄticos de filosofĂa natural", obra cientĂfica por excelencia, llamando a su mĂ©todo de "fluxiones". Leibniz utilizĂł el cĂĄlculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como lĂmite de aproximaciones sucesivas, dando un carĂĄcter mĂĄs filosĂłfico a su discurso. Sin embargo, terminĂł por adoptarse la notaciĂłn de Leibniz por su versatilidad.
En el siglo XVIII aumentĂł considerablemente el nĂșmero de aplicaciones del cĂĄlculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, asĂ como la intuiciĂłn geomĂ©trica, causaban todavĂa confusiĂłn y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la nociĂłn de lĂmite, central en el estudio del cĂĄlculo, era aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus crĂticos mĂĄs notables fue el filĂłsofo George Berkeley.
En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemĂĄticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sĂłlidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisiĂłn los conceptos de lĂmite en tĂ©rminos de Ă©psilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los nĂșmeros reales. Fue el periodo de la fundamentaciĂłn del cĂĄlculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recĂprocos son falsos. En el siglo XX, el anĂĄlisis no convencional, legitimĂł el uso de los infinitesimales, al mismo tiempo que la apariciĂłn de las Computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del cĂĄlculo.
Actualmente, el cĂĄlculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su carĂĄcter disciplinario en la formaciĂłn de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este ĂĄmbito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina cientĂfica que ha desembocado en ĂĄmbitos tan especializados como el cĂĄlculo fraccional, la teorĂa de funciones analĂticas de variable compleja o el anĂĄlisis matemĂĄtico. El Ă©xito del cĂĄlculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cĂĄlculo de vectores, al cĂĄlculo de variaciones, al anĂĄlisis complejo y a las topologĂa algebraica y topologĂa diferencial entre muchas otras ramas.
El desarrollo y uso del cĂĄlculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las ĂĄreas de la vida moderna: es fundamento para el cĂĄlculo numĂ©rico aplicado en casi todos los campos tĂ©cnicos y/o cientĂficos cuya principal caracterĂstica es la continuidad de sus elementos, en especial en la fĂsica. PrĂĄcticamente todos los desarrollos tĂ©cnicos modernos como la construcciĂłn, aviaciĂłn, transporte, meteorologĂa, etc. hacen uso del cĂĄlculo. Muchas fĂłrmulas algebraicas se usan hoy en dĂa en balĂstica, calefacciĂłn, refrigeraciĂłn, etc.
Como complemento del cĂĄlculo, en relaciĂłn a sistemas teĂłricos o fĂsicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como MatemĂĄtica discreta.