Cálculo
Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mĂnimo de funciones y de la determinaciĂłn de longitudes, áreas y volĂşmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingenierĂa, siempre que haya cantidades que varĂen de forma continua.
Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático
Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están Ăntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lĂłgico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lĂłgico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.
Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:
Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.
Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.
Resultado que es:
ConclusiĂłn de un proceso de razonamiento.
Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resoluciĂłn de problemas).
Modelo de relaciones previamente establecido como teorĂa cientĂfica y significativo respecto a determinadas realidades (CreaciĂłn de modelos cientĂficos).
Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho).
Dada la importancia que histĂłricamente ha adquirido la actividad lĂłgico-matemática en la cultura humana el presente artĂculo se refiere a este Ăşltimo sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ámbito de aplicaciĂłn; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cálculo matemático, pues en algunas universidades se llamaba "Cálculo" a una asignatura especĂfica de cálculo matemático.
En un artĂculo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cálculo lĂłgico-matemático en la actualidad. AquĂ se expone solamente el fundamento de sus elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los cálculos más complejos tanto en el aspecto lĂłgico como en el matemático.
Historia del cálculo
De la Grecia Clásica a la Edad Media
El tĂ©rmino "cálculo" procede del latĂn calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituĂan el ábaco romano que, junto con el suwanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.
Los antecedentes de procedimiento de cálculo se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; asà como Diofanto precursor del álgebra.
La consideraciĂłn del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a AristĂłteles, quien en su LĂłgica fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categĂłricos (silogismos). Este trabajo serĂa completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.
El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de al-Juwarizmi en el siglo IX.
Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de nĂşmeros en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacĂa muy difĂcil un procedimiento mecánico de cálculo.
El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.
El concepto de funciĂłn por tablas ya era practicado de antiguo pero adquiriĂł especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podĂa generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonomĂ©tricas; las tablas venĂan a ser como la calculadora de hoy dĂa; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los crĂ©ditos, por ejemplo,se calculaban hasta hace poco a partir de tablas elementales.
A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.
Renacimiento
El desarrollo del álgebra (con la introducciĂłn de un sistema de sĂmbolos por un lado, y la resoluciĂłn de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, StĂ©vin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y soluciĂłn de los más diversos problemas que surgieron en la Ă©poca como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso cientĂfico que surgirá en el siglo XVII.
Ejemplo de aplicaciĂłn de un cálculo algebraico a la resoluciĂłn de un problema segĂşn la interpretaciĂłn de una teorĂa fĂsica
La expresión del cálculo algebraico y = xt, indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno.
Pero si interpretamos y como espacio, x como velocidad y t como tiempo, tal ecuaciĂłn modeliza una teorĂa fĂsica que establece que el espacio recorrido por un mĂłvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.
Al mismo tiempo, segĂşn dicha teorĂa, sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilĂłmetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido.
· 240 kilĂłmetros recorridos = 60 km x 4 h
El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesĂa renacentista.
Siglos XVII y XVIII
Página del artĂculo de Leibniz "Explication de l'ArithmĂ©tique Binaire", 1703/1705
En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.
El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicaciĂłn al mundo de lo real adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia fĂsica que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulaciĂłn tradicional filosĂłfica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia asĂ el sentido tradicional de la FĂsica como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.
A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad fĂsica, cuya comprobaciĂłn experimental supone la confirmaciĂłn de la teorĂa como sistema. Es el momento de la consolidaciĂłn del llamado mĂ©todo cientĂfico cuyo mejor exponente es en aquel momento la TeorĂa de la GravitaciĂłn Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.
Siglos XIX y XX
George Boole |
La LĂłgica de Aristoteles fue desarrollada y se mantuvo prácticamente como tal a lo largo de los siglos. Kant, a finales del siglo XVIII, opinaba que la LĂłgica aristotĂ©lica no habĂa sufrido modificaciones sustanciales por tratarse de una ciencia formal, a priori y analĂtica.
Durante el siglo XIX y XX el desarrollo cientĂfico y la creaciĂłn de modelos teĂłricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. asĂ como en astronomĂa fue impresionante. Los sistemas de cálculo matemático amplĂan horizontes nuevos geometrĂas no euclidianas que encuentran aplicaciĂłn en modelos teĂłricos de astronomĂa y fĂsica. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partĂculas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuraciĂłn o espacio de fases de n dimensiones que fĂsicamente se hacen consistentes en la teorĂa de la relatividad, la mecánica cuántica, la teorĂa de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo fĂsico.
La lógica asimismo sufrió una transformación radical. La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo suele considerarse como meramente utilitaria.
En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalizaciĂłn de todo el sistema matemático, Frege, y de matematizaciĂłn de la lĂłgica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalizaciĂłn del concepto como cálculo lĂłgico. Se lograron mĂ©todos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los nĂşmeros transfinitos de Cantor.
Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.
Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y PoincarĂ©, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatizaciĂłn, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostraciĂłn de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo Teorema de Gödel en 1931, de grandes implicaciones lĂłgicas, matemáticas y cientĂficas.
Actualidad
En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lĂłgico interpretado matemáticamente como sistema binario, y fĂsicamente hecho material mediante la lĂłgica de circuitos elĂ©ctrĂłnicos, ha adquirido una dimensiĂłn y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente serĂa imposible: millones de operaciones.
El cálculo asĂ utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigaciĂłn cientĂfica por las posibilidades que ofrece para la modelizaciĂłn de las teorĂas cientĂficas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numĂ©rico.
Concepto general de cálculo
El cálculo es un sistema de sĂmbolos no interpretados, es decir, sin significaciĂłn alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los sĂmbolos para la construcciĂłn de expresiones bien formadas (EBF), asĂ como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologĂas.
Un cálculo consiste en:
- Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
- Un conjunto de reglas de formaciĂłn de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresiĂłn pertenece al sistema y cuándo no.
- Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.
Cuando en un cálculo asà definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.
Un cálculo asà definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:
- Es consistente: No es posible que dada una expresiĂłn bien formada del sistema, f, y su negaciĂłn, no − f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicciĂłn entre las expresiones del sistema.
- Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
- Completo: Cuando dada cualquier expresiĂłn bien formada del sistema, podemos establecer la demostraciĂłn o prueba de que es un teorema del sistema.
La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible"
El cálculo lógico
Entendemos aquà por cálculo lógico, un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.
La inferencia o deducciĂłn es una operaciĂłn lĂłgica que consiste en obtener un enunciado como conclusiĂłn a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicaciĂłn de reglas de inferencia.
Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.
Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empĂricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, segĂşn las leyes de la lĂłgica natural.
La lĂłgica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformaciĂłn de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusiĂłn es necesariamente verdadera.
Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo.
Sistematización de un cálculo de deducción natural
Reglas de transformaciĂłn de fĂłrmulas
1) Regla de sustituciĂłn (R.T.1):
Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.
Veamos el ejemplo:
1
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2
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B
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y
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3
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C
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B
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donde C =
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2) Regla de separaciĂłn (R.T.2:
Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X -> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.
Esquemas de inferencia
Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:
[A \land B \land C....\land N]\rightarrow Y
lo que constituye un esquema de inferencia en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas A, B,...N y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusiĂłn Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lĂłgica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautologĂa.
Por la regla de separaciĂłn podremos concluir Y, de forma independiente como verdad.
Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el cálculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes lógicas utilizadas como reglas de transformación, como se expone en cálculo lógico.
Concepto de modelo
Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada sĂmbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sĂ, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacĂo, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.
El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico
Naturalmente el cálculo lĂłgico es Ăştil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en quĂ© consisten o cĂłmo se hacen tales aplicaciones?
Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.
Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalizaciĂłn de tal forma que podamos reducir las expresiones lingĂĽĂsticas del lenguaje natural a EBFs de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lĂłgica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en cálculo lĂłgico.
Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingĂĽĂsticas dan lugar a sistemas diversos de formalizaciĂłn y cálculo:
Cálculo preposicional o cálculo de enunciados
Cuando se toma la oraciĂłn simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposiciĂłn atĂłmica, como un todo sin analizar.
La oraciĂłn simple: "Llueve", es tomada como posible valor de verdad o falsedad como una variable "p".
Cálculo como lógica de clases
Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que pertenecen o no pertenecen a una clase.
Siendo una clase el conjunto de posibles individuos en los que se incluye el Sujeto y la otra el conjunto de posibles individuos que se incluyen en el predicado de la oraciĂłn.
Esta es la forma en la que en la actualidad se interpreta la lĂłgica silogĂstica de AristĂłteles, que queda asĂ se reducida a un cálculo segĂşn la teorĂa de conjuntos
La oración simple "Todos los caballos corren por el campo" está analizada como: La clase de todos los posibles seres que corren por el campo (B) incluye a la clase formada por todos los posibles seres que sean caballos (A).
Cálculo de predicados o cuantificacional
Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la misma de forma que una posible función predicativa (P), se predica de una posible sujeto variable (x) o de una constante individual existente (a).
La oraciĂłn simple "los perros muerden" se interpreta de la siguiente forma
\land x=Todos los posibles perros;
P = todas las posibles acciones de morder.
\land xP(x)= Para todo x (siendo x un perro) x muerde = Todos los perros muerden.
En el caso de Desko que es mi perro al que simbolizo como una constante a:
P(a) = Mi perro Desko muerde.
Cálculo como lógica de relaciones
Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdad propio, verdado o falso, como resultado del análisis de la oración como una relación "R" que se establece entre un sujeto y un predicado.
AsĂ la oraciĂłn simple "Antonio es mayor que Pedro", se considera y simboliza bajo la relaciĂłn "ser mayor que" (R) que se da entre Antonio (a) y Pedro (p) y se simboliza como aRp.
La simbolización y formación de EBFs en cada uno de esos cálculos, asà como las reglas de cálculo se trata en cálculo lógico.
Cálculo aritmético
Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.
El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.
De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir.Pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, asà como su transcripción gráfica.
Algoritmos
En el sistema numérico decimal, base 10, consta de 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), que adquieren un valor posicional a la hora de determinar el número.
Las posiciones se inician por la derecha: La primera indica las unidades; la segunda las decenas; la tercera las centenas; la cuarta el millar; siendo cada cifra a la izquiera tantas unidades de la potencia de 10 que corresponda al nĂşmero de la posiciĂłn.
El nĂşmero 7452: Se lee: Siete mil cuatrocientos cincuenta y dos. Y consta de 7 unidades de mil (millares), 4 de cien (centenas), 5 de 10 (decenas) y 2 unidades.
Operaciones básicas del cálculo: suma, resta, multiplicación y división
Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn son las operaciones básicas del cálculo, sobre las cuales se construyen todas las demás. Es lo que se enseña en la Escuela Primaria y se conoce como "Las cuatro reglas" y es considerado como la mĂnima expresiĂłn de un conocimiento básico.
1. Algoritmo de la Suma
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operaciĂłn de suma consiste en la uniĂłn de las unidades contenidas en dos nĂşmeros, "sumandos", siendo el resultado la "Suma". Las tablas se leen como "una y una dos".
2. Algoritmo de la resta
El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operaciĂłn de resta se considera como la diferencia entre dos nĂşmeros, uno mayor "Minuendo" y otro menor "Sustraendo", siendo el resultado "Resta". Las tablas se leen como "de tres a cinco 2".
3. Algoritmo de la multiplicaciĂłn
Una multiplicaciĂłn de ejemplo
La multiplicaciĂłn es una suma reiterativa de un mismo nĂşmero, el "multiplicando", tantas veces como unidades tenga otro nĂşmero, el "multiplicador". El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. "Que se leen "una por una es 1"; "cinco por cuatro veinte" etc.(vĂ©ase el artĂculo Tabla de multiplicar)
4. Algoritmo de la divisiĂłn
La operación se realiza entre dos números, "dividendo" y "divisor", cuyo resultado expresa cuántas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo. Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama "cociente", y las unidades no divisibles se denominan "resto". Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: "una entre una a una".
Algoritmo de potencias y raĂcesAlgoritmo de la raĂz cuadrada
Potencias
Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo nĂşmero, llamado "base", tantas veces como indica un Ăndice o "exponente".
Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente.
AsĂ: 5^3 = 5 \times 5 \times 5= 125
El algoritmo de cálculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno.
RaĂces
Mayor dificultad ofrece el cálculo de raĂces, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raĂz cuadrada.
La raĂz es la operaciĂłn inversa de la potencia. Se expresa \sqrt[n]{x}donde x se llama "radicando" y n "raiz", y se trata de calcular un nĂşmero y tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raĂz exacta.
Este algoritmo de cálculo aritmético está completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electrónicas resuelven dicho cálculo con absoluta sencillez.
En la Escuela se aprendĂa el de la raĂz cuadrada, olvidado por muchos, como tantos otros, por lo que encontramos interesante su descripciĂłn, a modo de curiosidad y recordatorio:
Situamos como indica la figura el nĂşmero, “radicando”, del que queremos extraer la raĂz, en unas lĂneas como indica la misma figura.
Sea el número 9874285. Se descompone en grupos de dos cifras empezando por la cifra de unidades. Se toma el primer grupo de la izquierda, de una o dos cifras, según el número tenga un número de cifras par o impar, y conforme a las tablas de multiplicar se toma el número que multiplicado por sà mismo, del 1 al 9, más se acerque a la cifra o cifras primeras.
En el caso que nos ocupa al ser impar, la cifra a considerar es el 9 y el nĂşmero que nos indica la tabla de multiplicar el 3, que colocamos como indica la figura como primera cifra de la raĂz que pretendemos calcular.
Se calcula la diferencia entre las cifras o cifra del nĂşmero con la aproximaciĂłn considerada anteriormente. En el caso que estamos considerando 9 – 9 = 0, y a esta diferencia se le añaden como si fuera un nuevo nĂşmero las dos cifras siguientes del radicando. En nuestro caso 87.
Este nĂşmero lo dividimos por el doble de la cifra que ya hemos considerado de la raĂz. En este caso el 6, al que añadimos la cifra que consideremos como cociente, bajo la condiciĂłn de que multiplicado el nĂşmero que resulta de unir el doble de la cifra raĂz con dicho cociente por el propio cociente, más se aproxime al nĂşmero diferencia de la operaciĂłn anterior por defecto. En el caso que nos ocupa 87 : 61 = 1; de lo que resulta 61 x 1 = 61, calculando la diferencia con el 87 anterior, y añadiendo la cifra 1 a la raĂz.
Repetimos la misma operaciĂłn añadiendo las cifras siguientes del radicando, 42 que dividimos por el doble de 31; 31 x 2 = 62: dividiendo 2642 : 62 = 4; de donde 624 x 4 = 2496, incorporando el 4 a la raĂz y procediendo de igual forma con todas las cifras del radicando.
El resultado final debe corresponder a la operación de cálculo siguiente: 3142 x 3142 + 2121 = 9874285
Cálculo infinitesimal o cálculo diferencial e integral: breve reseña
El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la antigua geometrĂa griega. DemĂłcrito calculĂł el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un nĂşmero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y ArquĂmedes utilizaron el "mĂ©todo de agotamiento" o exhauciĂłn para encontrar el área de un cĂrculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polĂgonos regulares inscritos de cada vez mayor nĂşmero de lados. En el periodo tardĂo de Grecia, el neoplatĂłnico Pappus de AlejandrĂa hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con nĂşmeros irracionales y las paradojas de ZenĂłn de Elea impidieron formular una teorĂa sistemática del cálculo en el periodo antiguo.
En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integraciĂłn y DerivaciĂłn en tĂ©rminos modernos). Fermat y Barrow tenĂan la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.
El descubrimiento de Newton, a partir de su teorĂa de la gravitaciĂłn universal, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicaciĂłn aĂşn provoca controversias sobre quiĂ©n de los dos fue el primero. Newton utilizĂł el cálculo en mecánica en el marco de su tratado "Principios matemáticos de filosofĂa natural", obra cientĂfica por excelencia, llamando a su mĂ©todo de "fluxiones". Leibniz utilizĂł el cálculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como lĂmite de aproximaciones sucesivas, dando un carácter más filosĂłfico a su discurso. Sin embargo, terminĂł por adoptarse la notaciĂłn de Leibniz por su versatilidad.
En el siglo XVIII aumentĂł considerablemente el nĂşmero de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, asĂ como la intuiciĂłn geomĂ©trica, causaban todavĂa confusiĂłn y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la nociĂłn de lĂmite, central en el estudio del cálculo, era aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus crĂticos más notables fue el filĂłsofo George Berkeley.
En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sĂłlidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisiĂłn los conceptos de lĂmite en tĂ©rminos de Ă©psilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los nĂşmeros reales. Fue el periodo de la fundamentaciĂłn del cálculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recĂprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimĂł el uso de los infinitesimales, al mismo tiempo que la apariciĂłn de las Computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo.
Actualmente, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su carácter disciplinario en la formaciĂłn de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina cientĂfica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el cálculo fraccional, la teorĂa de funciones analĂticas de variable compleja o el análisis matemático. El Ă©xito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a las topologĂa algebraica y topologĂa diferencial entre muchas otras ramas.
El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numĂ©rico aplicado en casi todos los campos tĂ©cnicos y/o cientĂficos cuya principal caracterĂstica es la continuidad de sus elementos, en especial en la fĂsica. Prácticamente todos los desarrollos tĂ©cnicos modernos como la construcciĂłn, aviaciĂłn, transporte, meteorologĂa, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fĂłrmulas algebraicas se usan hoy en dĂa en balĂstica, calefacciĂłn, refrigeraciĂłn, etc.
Como complemento del cálculo, en relaciĂłn a sistemas teĂłricos o fĂsicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matemática discreta.