VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y RAPIDEZ INSTANTÁNEA
La velocidad media no describe el movimiento en cada instante, por consiguiente no es adecuada para una descripción precisa del movimiento. Por ejemplo, si un vehículo recorre sin parar, de una manera uniforme, una ruta de 500 km en 10 horas, se dirá que su velocidad media es de 50 km/h. Mientras que si otro vehículo recorre la misma distancia pero parando y acelerando en el mismo tiempo, se dirá también que su velocidad media es 50 km/h y obviamente los dos movimientos no son iguales.
El único medio de conocer el movimiento de un cuerpo en cada instante, es medir su velocidad media para desplazamientos muy pequeños durante intervalos de tiempo también muy pequeños a cada momento.
Tomemos como ejemplo el corredor olímpico que recorre 100 m en 10 s. Con ayuda de buenos cronómetros electrónicos medimos el tiempo que demora el corredor en efectuar los últimos 50 m, 10 m, 2 m y 1 m. Encontramos:
| d (m) |
100
|
50
|
10
|
2
|
1
|
| t (s ) |
10,0
|
4,17
|
0,81
|
0,18
|
0,08
|
| v (m/s) |
10
|
12,0
|
12,3
|
12,5
|
12,5
|
Queremos saber ahora, ¿cuál es la velocidad del corredor exactamente sobre la línea final?
Se nota que si los desplazamientos y los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, la velocidad media se acerca en un valor que no varía mucho y que aquí es 12,5 m/s. En otras palabras, se dice que la velocidad media llega a un límite. Si a partir de cierta posición y de cierto tiempo, se efectúa un desplazamiento muy pequeño, el intervalo de tiempo lo será también. Se puede definir el vector velocidad instantánea, o simplemente velocidad a un momento dado, a la razón del desplazamiento, al intervalo de tiempo correspondiente, cuando éste tienda a cero.
Matemáticamente, se dice que la velocidad instantánea es el siguiente límite:
(léase límite de DX sobre Dt cuando Dt tiende a 0)
Si un auto realiza un viaje de 300 km y tarda cuatro horas en recorrer esa distancia, se puede decir que su rapidez media ha sido de 75 km/h. Es posible que durante el viaje el conductor se haya detenido a echar gasolina o a comer algo y sabemos que al atravesar los pueblos se ha viajado más lento que en los tramos de carretera. La rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km/h, sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido de 0 km/h mientras ha estado detenido. Esto obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea:
Rapidez instantánea:
la rapidez en un instante cualquiera.
Rapidez media:
es la media de todas las rapideces instantáneas y se calcula dividiendo la distancia entre el tiempo. Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil, calculando su rapidez media para un pequeño intervalo y usando esta aproximación como rapidez instantánea.
Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección, entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea.
El "velocímetro" de un vehículo no mide la velocidad instantánea si no la rapidez instantánea, puesto que no dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante.
Velocidad media
A partir de la definición de velocidad se puede llegar a la expresión para la velocidad media reemplazando Dx:
Dx = xf -xi
Como es obvio, en la posición inicial se tiene un tiempo inicial y del mismo modo en la posición final, por lo que podemos hablar de un delta de tiempo (diferencia entre el final y el inicial), si lo reemplazamos en la expresión anterior se obtiene:
Las dos expresiones representan la velocidad media; las unidades en que se da la velocidad media, son iguales a la rapidez o velocidad vistas antes, (km/h, cm/s, m/s, etc.).
Esta velocidad es aplicable en un estudio a groso modo, puesto que se consideran los momentos inicial y final únicamente.
Para realizar un estudio más estricto, se debe considerar qué ocurre en los instantes intermedios del recorrido. Es aquí donde aparece el concepto de velocidad instantánea, de la expresión se define como la variación del delta de desplazamiento sobre el delta de tiempo, cuando éste tiende a tiempos demasiados cortos, lo ideal es que sea cero lo que físicamente no es posible, pero matemáticamente se puede hacer la consideración escribiéndose:
Esta expresión es utilizada en cursos superiores.
Ejemplos:
Un corredor en una competencia ganó la carrera de los 100 m en 10.54 s. Suponiendo que estos 100 m se midan con una aproximación de 0.1 m, ¿cuál fue su velocidad media en m/s y km/h?
El desplazamiento: d = + 100.0 m, el intervalo de tiempo t = 10.54 seg.
Velocidad media: = ?
Ecuación: v = d/t
Reemplazando:
v = d/t = +100 m / 10.54 s = +9.488 m/s
+90488 m/s (3 600s/h / 1 000m/km) = +34.16 km/h
Esto significa que el atleta corrió a razón de +9.488 m en un segundo, o +34.16 km en una hora. En la carrera de los 200 m, su velocidad media fue de 200.0 m /21.34 s = +9.372 m/s, así que su velocidad media fue mayor en la carrera de los 100 m.
Sobre una línea recta, un auto recorre 200 km en 4 horas, ¿cuál es su velocidad media?
El vector velocidad media está en la dirección del movimiento y es v = 200/4 = 50 km/h.
Un tren rápido viaja de una ciudad a otra con una velocidad media de +227 km/h. El viaje dura 2.00 h, ¿qué distancia hay entre dichas ciudades?
La velocidad media: v = +227 km/h.
El desplazamiento: d = ?
Ecuación: v = d/t.
Tiempo: t = 2.00 h.
Reemplazando: d = v/t.
d = ( +227 km/h ) ( 2.00 h ) = +454 km.